1.对于任意两个（实）数a，b来说，a＜b，a＝b，a＞b这三种情况有且仅有一种成立；

2.如果a＜b，b＜c，那么a＜c；

3.如果a＜b，那么a＋c＜b＋c；

4.如果a＜b，b＞c，那么ac＜bc。

然而在复数C中，不论我们如何规定大小关系，都无法同进满足上面四个性质，我们用反证法证明这一结论。假设在复数集C中能规定一种大不关系，使它同进满足上面四个性质，我们看0与R这两个复数，由于性质（1）及i≠0，可知0＜i，i＜0这两种情况有且仅有一种成立。下面证明，这一由性质（1）导出的结论，偏偏又会与性质（1）矛盾。

先看0＜i的情况，这时由性质（4），可得0&middoti＜i2 =>0＜-1

再一次由性质（4），可得0·(-1)＜(-1)2 =>0＜-1

另一方面，由0＜-1根据性质（3），可得0＋1＜-1＋1 =>1＜0

这样，0＜1与1＜0同时成立，这与性质（1）矛盾。

再看i＜0的情况，这时由性质（3），可得i＋(-i)＜0＋(-i =>0＜-i。于是性质（4），可得0·(-i)＜(-i)2 =>0＜-1。

由此，可以和上面一样，推得0＜1与1＜0同时成立，与性质（1）矛盾。

这样，我们证明了，在复数集C中，对任何两个数a，b都适用的大小关系是不存在的。