加法的意义和运算定律
（第48～52页）
教材说明
1．加法的意义
加法是数学中最基本的运算方法之一。在前三年半学生已经学会加法的计算方法，对加法的意义也有了感性认识，知道把两个数合并起来要用加法计算。这一节内容，就是在学生已经学过的加法知识的基础上，明确概括出加法的意义，使学生对加法的认识从感性上升到理性，不仅理解加法的意义，而且能应用它解答实际问题。学生学会整数加法的意义，就为以后学习小数、分数加法的意义打下基础。
教材通过实际事例（第48页例1）说明加数的意义，使学生明确要算北京到济南的铁路长就要把北京到天津的铁路长（137千米）和天津到济南的铁路长（357千米）合并起来，所以要用加法计算。在此基础上概括出加法的意义。
加法算式中各部分的名称，学生已经掌握，这里再联系加法的意义给以概括性说明。由于0的加法比较特殊，在算术理论中都是另外补充定义的，小学生对0的加法与0的乘法等又容易混淆，所以教材中单提出来，提醒学生注意。
为了使学生深刻理解加法的意义，并能应用于解答实际问题，在练习中安排了相应的习题。如练习十一第1题，让学生用加法的意义说明为什么要用加法计算，这样可以初步培养学生有根据的说理能力。
2．加法运算定律
在小学数学中，加法运算定律一般只教学加法交换律和加法结合律。学习这两个运算定律，不仅有助于加深理解加法的一般计算方法，还能使一些计算简便。这些知识在以后学习中也经常用到，因此要使学生切实理解并能熟练运用。
（1）加法交换律
通过前三年半的学习，学生对加法交换律已有了一些感性认识。如知道具体的两个数相加时，把两个数的位置交换一下，加得的结果不变。本册教科书结合具体例子，先用文字表述抽象、概括出运算定律，再进一步用字母表示。这样一方面提高了知识的抽象概括的程度，另一方面也便于学生记忆，同时也为以后正式讲用字母表示数打下初步基础。另外在知识的讲解上与低年级相比也有所提高，这里采用了不完全的归纳推理。通过例2让学生观察，使学生发现任意两个整数相加都具有同样的性质，然后概括出加法交换律。这样有利于培养学生初步的归纳推理能力。
在这之后说明加法交换律的应用，主要是用来进行加法的验算。（在加法结合律之后还与加法结合律结合起来应用，使运算简便。）通过应用，可以加深学生对加法交换律的理解，也初步培养学生演绎推理的能力。
（2）加法结合律
在前面通过简便算法的教学做了一些孕伏，如学生知道7＋6＋4可以算成7＋（6＋4），学生有了一些感性认识。这里同加法交换律类似，也是进一步加以抽象概括。例3给出两组算式让学生观察，发现它们具有共同规律，然后引导学生归纳出一般规律。进一步写出字母表达式。
在这之后教材注意从两方面来说明加法结合律的应用。首先是使运算简便。用加法结合律进行简便运算有两种情况：
①单独用加法结合律使运算简便，如例4；②与加法交换律结合使用，使运算简便，如例5，先用加法交换律把480和75交换位置，再用加法结合律把75和325相加。这样把相加能得到整十或整百的数先加起来，使运算变得简便。
另一方面联系学生学过的两位数的口算方法，如36＋48，通常把它们转化成两位数加整十数和两位数加一位数，即36＋48＝36＋（40＋8）＝（36＋40）＋8，实际是应用了加法结合律。通过这个例子使学生既加深理解加法结合律，又有助于提高对口算步骤合理性的认识。
在“做一做”和练习十一中安排了一些相应的习题。使学生真正理解运算定律，防止死记硬背结语。适当加强填空题、判断题（第2、5、6题），并在简便运算（第7题）中注意要求说明如何应用运算定律，以培养学生运用概念、法则进行判断、推理的能力。同时还注意有计划地复习已学过的内容（第9题），为后面学习打下牢固基础。
教学建议
1．这部分内容可用2课时进行教学。教学加法的意义和加法交换律，加法结合律和简便算法，完成练习十一第1～9题。
2．教学开始时，为了激发学生学习兴趣，可以向学生说明：在前三年半我们已经学过加法的计算方法，现在我们要进一步学习、掌握一些加法的规律性知识，这些知识对以后学习有很大帮助。教学加法意义时，由于例1是学生已经掌握了的内容，所以先让学生自己解答。然后问学生：“为什么要用加法算？”引导学生从实际例子想出加法是什么样的运算。学生回答后，教师给出加法的确切意义：把两个数合并成一个数的运算叫做加法。
然后总结加法算式中各部分的名称。可以提问：“137和357在加法算式中叫什么数？”（加数），“它们相加得到的结果494叫什么？”（和）。然后教师联系加法的意义说明：相加的两个数也就是要合并的两个数，叫做加数，加得的数也就是合并的结果，叫做和。对于0的加法单提出来说一下。可以先提问学生：“我们上面做的加法，两个加数是什么样的数？”在学生回答“是大于0的自然数”以后，可以问：“任何两个大于0的自然数相加得到的和与加数比较会怎样？”然后再问：“0和一个自然数相加得到的和会怎样呢？”引导学生想0的加法可能有哪几种情况。通过讨论使学生明确，0与任何数相加还得原数。
3．教学加法交换律时，可以先向学生说明，加法运算有一些基本性质，对我们以后的计算很有用。然后举出与例2形式类似的几组算式。问学生：“每组算式有什么关系？○里应填什么？这几组算式有什么共同特点？你发现了什么规律？从这几组算式你能得出什么结论？”引导学生总结出一般规律。然后教师总结，并让学生看书，读一读结语，指出这就叫加法交换律。
得出加法交换律以后，教师提出，用语言表达加法交换律比较麻烦，大家想一想怎样能把它表示得既简单又清楚，从而引出用字母表示加法交换律。要说明a和b都表示任意一个整数0，1，2，3，…1＋2＝2＋1，137＋357＝357＋137，18＋17＝17＋18等等，每个等式只能表示两个具体的数交换位置和不变，不能表示任意的两个数交换位置和不变，而用“a＋b＝b＋a”，就可以表示任意两个数相加，交换它们的位置，和不变。教学中还可说明a、b是拉丁字母，通常分别读作：“ei\"\，\！bi\"，不要按汉语拼音的读法来读。
接着教师让大家想一想，在以前哪些计算中用到了加法交换律。然后复习一下第四册学过的笔算加法的验算方法，既可以把两个加数上下调换位置再加一遍，也可以利用原来的竖式从下往上加一遍。
然后试算第49页“做一做”中的题目，可以让学生说一说根据，初步培养学生推理的能力，发现问题及时订正，接着做练习十一中相应的第2、3题。
4．加法结合律的教学，可以仿照加法交换律的教学方法进行。教学时，可以让学生观察几组与例3中类似的算式，并提问：“每组的两个算式有什么样的关系？○里应填什么？这几组算式有什么共同的特点？你发现了什么规律？从这几组算式你能做出什么结论？”引导学生总结一般规律，最后教师做总结，并让学生看书，读一读结语。指出这就是加法结合律。
最后教师启发学生：怎样用比较简单的形式表示加法结合律呢？然后提出用字母a、b、c（读作“sei”）表示三个加数，还可以问：a、b、c表示的是什么样的数？（大于0或等于0的整数，使学生明确数的范围。）从而得出加法结合律的字母表达式。随后可以试算“做一做”中的题目。
5．总结出加法结合律以后，说明应用加法结合律可以使一些计算简便。先教学单独应用加法结合律进行简便计算的例4。先让学生想：这道题怎么算简便？为什么？应用了什么运算定律？使学生明确，因为325和75相加能得整百（400），再算480＋400比较简便，这里应用了加法结合律。注意虚线框中的算式是想的过程，开始可以让学生写出来，以后可以不写出来，以达到简便的目的。
然后教学加法交换律与加法结合律结合使用的例5。也是先让学生想：这道题怎样算比较简便？为什么？应用了什么运算定律？这里学生往往会受例4的影响，只说用了加法结合律，而忽略了加法交换律。这时教师可以再复习一下加法结合律的意义，说明加法结合律是说：前两个数相加后再与第三个数相加，或者后两个数相加再与第一个数相加所得的结果不变；而没有说，第一个和第三个数相加。所以在应用的时候，一定要严格按照加法结合律的要求去做。这时可以启发学生想：这道题单独用加法结合律，不能使计算简便，用什么方法先改变一下加数的顺序，就可以用加法结合律了呢？启发学生想出可以先用加法交换律，把480和75的位置交换一下，就可以用加法结合律进行计算了。这里还可以引导学生分辨加法结合律与加法交换律的不同：加法结合律不改变加数的位置，只有加法交换律才能使加数位置改变。通过这个例子也可以使学生对加法交换律的作用认识进一步加深：它可以保证加法结合律的顺利进行。
然后试算第50页最下面“做一做”的题目，要求学生说明怎样算比较简便，用了什么运算定律，先用了哪个，再用哪个。
最后，可以让学生回想，过去哪些知识应用了加法结合律。可以举出教材中口算的例子，共同讨论是怎样应用加法结合律的。使学生明确，把36＋48先改写成36＋（40＋8），然后算（36＋40）＋8，就是应用了加法结合律。教师还可以举出学20以内的加法时用的“凑十法”实际上也是应用了加法结合律。如9＋8＝9＋（1＋7）＝（9＋1）＋7。
6．关于练习十一中一些习题的教学建议。
第1题，是要求学生用加法的意义说明为什么要用加法计算。如第（1）题，要启发学生说出：小强有125枚邮票，小明有75枚，要求小强和小明共有多少枚邮票，就要把两人的邮票数合并起来。加法就是把两个数合并成一个数的运算，因此这道题要用加法计算。
第2题和第5题，要求根据运算定律在□里填入适当的数。这一方面可以巩固运算定律的内容，另一方面对运算定律的表达式加深认识。教学时，注意让学生弄清根据哪个运算定律来填数，对有困难的学生可以对照运算定律的结语及字母表达式帮助理解。对于运算定律的表述，只要求表述得清楚、没有错误，不要求学生一字不差地背下来。
第4题，要求学生选两道题说出是怎样应用加法结合律的。如37＋8，先把37分成30＋7，应用结合律可以先把7和8相加，再和30相加。
第6题是判断题，要求学生根据运算定律的内容来判断每个等式是不是符合运算定律的要求。如第6题中的a＋（20＋9）＝（a＋20）＋9，虽然这个等式中又有字母又有数目，但它符合加法结合律。
第8题在填表时，要让学生考虑怎样算比较简便。
第9题由于数目比较多，可提醒学生观察数的特点，能简算的就简算。
第10*题，通过观察可以看出第（1）题中的数有这样的特点：1＋19＝20，3＋17＝20，5＋15＝20，7＋13＝20，9＋11＝20，所以可以用加法结合律和交换律，先算出上面每两个数的和，再求出总和为100。第（2）题有类似的特点：2＋20＝22，4＋18＝22，6＋16＝22，8＋14＝22，10＋12＝22，所以总和是110。
第11*题分成两个双数的和，如果除去加数位置交换的，可以有13种分法（包括0和50的和）。
第52页最后的思考题，要让学生自己思考解答。思路如下：用1、2、3这三个数字组成的不重复的三位数有6个：123、132、213、231、312、321。这6个数的和是1332。1＋2＋3＝6，1332÷6＝222。再举其他任意三个数字，按照上面的方法进行计算，最后所得商都是222。原因如下：从上面6个数可以看出，每个数字在百位、十位和个位都出现两次，也就是三个数字和的2倍，因此用三个数字的和去除6个数的和时，百位、十位和个位必然都商2。
人民教育出版社
