3. 乘积矩阵的列向量组和行向量组,
设A是m´n矩阵B是n´s矩阵. A的列向量组为a1, a2,¼ ,an,B的列向量组为b1, b2,¼ ,bs, AB的列向量组为g1, g2,¼ ,gs,则根据矩阵乘法的定义容易看出:
① AB的每个列向量组为gi=Abi,i=1,2,¼,s.
即A(b1, b2,¼ ,bs)= (Ab1,Ab2,¼ ,Abs).
② b=(b1,b2, ¼,bn)T,则Ab= b1a1+b2a2+ ¼+bnan.
应用这两个性质可以得到:
乘积矩阵AB的第i个列向量gi是A的列向量组为a1, a2,¼ ,an的线性组合,组合系数就是B的第i个列向量bI的各分量.
类似地, 乘积矩阵AB的第i个行向量是B的行向量组的线性组合,组合系数就是A的第i个行向量的各分量.
以上规律在一般教材都没有强调,但只要对矩阵乘法稍加分析就不难看出.然而它们无论在理论上(有助于了解代数学中各部分内容的联系)和解题中都是很有用的.请读者注意例题中对它们的应用.下面是几个简单推论.
用对角矩阵L从左侧乘一个矩阵,相当于用L的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各行向量; 用对角矩阵L从右侧乘一个矩阵,相当于用L的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各列向量.
单位矩阵乘一个矩阵仍等于该矩阵.
数量矩阵kE乘一个矩阵相当于用k乘此矩阵.
两个同阶对角矩阵的相乘只用把对角线上的对应元素相乘.
求对角矩阵的方幂只需把对角线上的每个作同次方幂.
4. 矩阵方程和可逆矩阵(伴随矩阵)
(1) 矩阵方程
矩阵不能规定除法,乘法的逆运算是解下面两中基本形式的矩阵方程.
(I) AX=B. (II) XA=B.
其中A必须是行列式不等于0的n阶矩阵,这样这两个方程都是唯一解.
当B只有一列时,(I)就是一个线性方程组.由克莱姆法则知它是唯一解.设B有s列, B=(b1, b2,¼ ,bs),则 X也有s列,记X=(c1, c2,¼,cs).得到Aci=bi,i=1,2, ¼,s,这些方程组都是唯一解,从而AX=B唯一解.这些方程组系数矩阵都是A,可同时求解,即得
(I)的解法:
将A和B并列作矩阵(A|B),对它作初等行变换,使得A边为单位矩阵,此时B边为解X.
(II)的解法:对两边转置化为(I)的形式:ATXT=BT.再用解(I)的方法求出XT,转置得X..
矩阵方程是历年考题中常见的题型,但是考试真题往往比较复杂,要用恒等变形简化为下上基本形式再求解.
(2) 可逆矩阵
定义 设A是n阶矩阵,如果存在n阶矩阵B,使得AB=E, BA=E,则称A为可逆矩阵.
此时B是唯一的,称为A的逆矩阵,通常记作A-1.
矩阵可逆性的判别:
① n阶矩阵A可逆Û|A|¹0.
② n阶矩阵A和B如果满足AB=E,则A和B都可逆并且互为逆矩阵.(即 AB=EÛBA=E.)
可逆矩阵有以下性质:
① 如果A可逆,则
A-1也可逆,并且(A-1)-1=A,|A-1|=|A|-1.
AT也可逆,并且(AT)-1=(A-1)T.
当c¹0时, cA也可逆,并且(cA)-1=c-1A-1.
对任何正整数k, Ak也可逆,并且(Ak)-1=(A-1)k.
(规定可逆矩阵A的负整数次方幂A-k=(Ak)-1=(A-1)k.
② 如果A和B都可逆,则AB也可逆,并且(AB)-1=B-1A-1.
③ 如果A可逆,则A在乘法中有消去律:
AB=0ÞB=0. BA=0ÞB=0.
AB=ACÞB=C. BA=CAÞB=C.
④ 如果A可逆,则A在乘法中可移动(化为逆矩阵移到等号另一边):
AB=CÛB=A-1C. BA=CÛB=CA-1.
由此得到基本矩阵方程的逆矩阵解法:
(I) AX=B的解X=A-1B ; (II) XA=B的解X= BA-1.
这种解法自然好记,但是计算量必初等变换法大(多了一次矩阵乘积运算).
(3) 逆矩阵的计算和伴随矩阵
逆矩阵的计算有两种方法.
①初等变换法: A-1是矩阵方程AX=E的解,于是对(A|E)用初等行变换把化为E,则E化为A-1.
② 伴随矩阵法
若A是n阶矩阵,记Aij是|A|的(i,j)位元素的代数余子式,规定A的伴随矩阵为
A11 A21 ¼ An1
A*= A12 A22 ¼ An2 =(Aij)T.
¼ ¼ ¼
A1n A2n ¼ Amn
规定伴随矩阵不要求A可逆.但是在A可逆时, A*和A-1有密切关系.
基本公式: AA*= A*A= |A|E.
于是对于可逆矩阵A,有
A-1= A*/|A|, 或A*=|A| A-1.
因此可通过求A*来计算A-1.这就是求逆矩阵的伴随矩阵法.
和初等变换法比较, 伴随矩阵法的计算量要大得多,除非n=2,一般不用它来求逆矩阵.对于2阶矩阵
a b * d -b
c d = -c a ,
因此当ad-bc¹0时,
a b -1 d -b
c d = -c a (ad-bc) .
伴随矩阵的其它性质:
① 如果A是可逆矩阵，则A*也可逆，并且(A*)-1= A/|A|=(A-1)*.
② |A*|=|A|N-1.
③ (A-T)*=(A*)T.
④ (cA)*=c n-1A*.
⑤ (AB)*= B*A*; (Ak)*= (A*)k.
⑥ (A*)*=|A|N-2 A.
练习题二
1.设a=(1,2,3,4)T,b=(1,1/2,1/3/1/4)T, A=abT, 求An .
1 1/2 0
2．设A= 2 1 0 ，求An．
1 1/2 0
1 0 0
3．设a=(1,0,1)T,b=(0,1,1)T,P= 1 1 0 , A= P-1ab TP,求A2003.
0 0 1
4. 设a=( 1,-1,2)T ,b=(2, 3, 2)T ,
-1 2 0
A = 0 1 1 ，B=Aab T ,求B5．
3 0 -1
5． 已知3阶行列式|a,b,g|=3，求|3a-b+2g,-a+b+g,2a+5b-7g|.
6．已知 3 0 1
A= 1 1 0 ，AB=A+2B，求B．
0 1 4
7． 已知 0 1 0 1 -1
A= -1 1 1 ，B= 2 0 ，X=AX+B,求X.
-1 0 -1 5 3
8．已知 1 -2 0
B= 2 1 0 ，(A- E)B = A，求A.
0 0 2
9．已知 1 1 -1
A= -1 1 1 ，A*X= A-1+2X，求X．
1 -1 1
10．已知 0 1 1
A= 1 0 1 ，A-1BA=6A+BA，求B．
0 1 0
11. 1 0 0
设 A = -2 3 0 , B=(A+E)-1(A-E),则(B-E)-1= .
0 -4 5
12. A是一个3阶矩阵, 3维向量组g1, g2 ,g3线性无关,满足Ag1=g2+g3, Ag2=g1+g3, Ag3=g1+ g2 .求|A|.
13. 设 1 0 0 1 0 0
A = 0 0 0 , B= 2 -1 0 , X B = B A,求X和X11.
0 0 -1 2 1 1
14. 2 0 0
设 A =(1/2) 0 1 3 ,求(A*)-1.
0 2 5
15．设n阶矩阵A满足A2+3A- 2E=0，证明A可逆，并求A-1和(A+E)-1
16.设n阶矩阵A 满足AK=0，(k为一个自然数)，证明E-A可逆.
17．设n阶矩阵A 满足A2-3A+2E=0， 并且A不是数量矩阵．问a为什么数时A-aE可逆？
18. 已知n阶矩阵A2=A, (A+B) 2=A2+B 2, 证明 AB=0．
19．设A，B，C都是n阶可逆矩阵，D=(ABAC)-1，证明BACD=CDAB．
20．设A，B都是n阶矩阵，AB+E可逆．证明BA+E也可逆，并且
(BA+E)-1=E-B(AB+E)-1A ．
21．A，B都是n阶矩阵，并且B和E +AB都可逆，证明：
B(E +AB)-1B-1= E-B(E + AB)-1A ．
22.设A,B是两个n阶矩阵，则（ ）是A,B 可交换的充分必要条件.
(A) (A+B)3= A3+3A2B +3AB2+B3 .(B) A2与B2可交换.
(C) A+B与A-B可交换. (D) (AB)2=A2B2.
23．设A,B是两个n阶矩阵,满足(AB)2=E,则( )成立.
(A) AB=E.(B) |A||B|=1.(C) AB=BA.(D)(BA)2=E .
24.设A,B是两个3阶矩阵,|A-1|=2,|B-1|=3,则|A*B-1-A-1B*|=( ).
(A)36.(B)1/36.(C)-6.(D) 6.
25．已知3阶矩阵A满足:
2 1 -3 -5 -3 9
A2= 1 1 -2 , A3= -3 -2 6 , 求A.
-3 -2 6 9 6 –17
26．设A,B是两个n阶矩阵,则( )成立.
(A) 如果A,B都可逆,则 AB= BA. (B)如果AB是非零数量矩阵,则AB= BA.
(C) 如果A*B= BA*,则AB= BA. (D)如果(AB)2= A2B2,则AB= BA.
27．设a=(-1,-1,2), b=(1,1,0), A=2E+aTb ,B=E+3b Ta ,则AB-BA= .
参考答案
1. 4nA . 2． 2 n-1A.
1 1 1
3．A2003= A=-1 -1 -1 .
1 1 1
4. -6 -9 -9
B5=B=Aab T = 2 3 3 ．
2 3 3
5． -135.
6． 5 -2 -2
B= 4 –3 –2 .
-2 2 3
7． 3 -1
X= 2 0 .
1 -18． 1 1/2 0
A= -1/2 1 0 .
0 0 1
9． 1 1 0
X=1/4 0 1 1 .
1 0 1
10 2 2 2
B=-3 1 3 2 .
1 1 2
11. (B-E)-1= -(A+E)/2.
12. 2.
13. 设 1 0 0 1 0 0
A = 0 0 0 , B= 2 -1 0 , X B = B A,求X和X11.
0 0 -1 2 1 1
14. (A*)-1=-4A.
15． A-1=(A+3E)/2 ,(A+E)-1= (A+2E)/4.
16.设n阶矩阵A 满足AK=0，(k为一个自然数)，证明E-A可逆.
17． A不等于1和2.
18. 已知n阶矩阵A2=A, (A+B) 2=A2+B 2, 证明 AB=0．
19．设A，B，C都是n阶可逆矩阵，D=(ABAC)-1，证明BACD=CDAB．
20．设A，B都是n阶矩阵，AB+E可逆．证明BA+E也可逆，并且
(BA+E)-1=E-B(AB+E)-1A ．
21．A，B都是n阶矩阵，并且B和E +AB都可逆，证明：
B(E +AB)-1B-1= E-B(E + AB)-1A ．
22. (C).
23．(D).
24. (B).
25． -1 0 1
0 0 1 .
1 1 -2
26．(B).
27． –2 –2 -2
AB-BA=3(aTbb Ta-b TaaTb)=6 –2 –2 -2 .
–2 –2 4
第四章 向量组的线性关系与秩
1. 向量组的线性表示关系
如果n维向量b等于n维向量组a1, a2,¼ ,as的一个线性组合，就说b可以用a1, a2,¼ ,as线性表示.
判别“b是否可以用a1, a2,¼ ,as线性表示? 表示方式是否唯一？”就是问：向量方程
x1a1+ x2a2+¼ +xsas=b
是否有解？解是否唯一？这个向量方程用分量写出就是以(a1, a2,¼ ,as |b)为增广矩阵的线性方程组.
设a1, a2,¼ ,as 和b1, b2,¼ , bt 都是n维向量组,如果每个bi都可以用a1, a2,¼ ,as线性表示,则说向量组b1, b2,¼ , bt可以用a1, a2,¼ ,as线性表示.
例如, 乘积矩阵AB的列向量组可以用A的列向量组线性组合.反之,如果向量组b1, b2,¼ , bt可以用a1, a2,¼ ,as线性表示,则矩阵(b1, b2,¼ , bt)等于矩阵(a1, a2,¼ ,as)和一个s´t矩阵C的乘积. C可以这样构造: 它的第i个列向量就是bi对a1, a2,¼ ,as的分解系数.
当向量组a1, a2,¼ ,as 和b1, b2,¼ , bt 互相都可以表示时,就说它们互相等价,并记作{a1, a2,¼ ,as }@{b1, b2,¼ , bt} .
向量组的线性表示关系有传递性,从而等价关系也有传递性.
2. 向量组的线性相关性
线性相关性是描述向量组内在关系的概念.
定义 设a1, a2,¼ ,as 是n维向量组,如果存在不全为0的一组数c1,c2,¼ ,cs使得
c1a1+ c2a2+¼ ,+csas=0,
则说a1, a2,¼ ,as 线性相关,否则(即要使得c1a1+ c2a2+¼ ,+csas=0,必须c1,c2,¼ ,cs全为0)就说它们线性无关.
于是, a1, a2,¼ ,as “线性相关还是无关”即x1a1+ x2a2+¼ ,+xsas=0“有还是没有非0解”, 也就是以(a1, a2,¼ ,as )为系数矩阵的齐次线性方程组有无非0解.
一个向量(s=1)相关(无关)即它是(不是)零向量.
与线性相关性有关的性质:
① a1, a2,¼ ,as 线性相关Û至少有一个ai可以用其它向量线性表示.
② 当向量的个数s大于维数n时, a1, a2,¼ ,as 一定线性相关.
③ 线性无关向量组的每个部分组都无关(从而每个向量就不是0).
④ 如果a1, a2,¼ ,as 线性相关,而a1, a2,¼ ,as,b线性相关,则b可用a1, a2,¼ ,as 线性表示.
⑤ 如果b可用a1, a2,¼ ,as 线性表示,则表示方式唯一Ûa1, a2,¼ ,as 线性无关.
⑥ 如果b1, b2,¼ , bt可以用a1, a2,¼ ,as线性表示，并且t>s,则 b1.b2,¼,bt 线性相关.
推论 如果两个线性无关的向量组互相等价,则它们包含的向量个数相等.
3.向量组的极大无关组和秩
秩是刻画向量组相关“程度”的一个数量概念.它表明向量组可以有多大的线性无关的部分组.
定义 设a1, a2,¼ ,as 是n维向量组,(I)是它的一个部分组.如果
① (I) 线性无关.
② (I) 在扩大就线性相关.
就称(I)为a1, a2,¼ ,as 的一个极大无关组.
条件②可换为:任何aI都可用(I) 线性表示.也就是(I) 与a1, a2,¼ ,as 等价.
当a1, a2,¼ ,as 不全为零向量时, 它就存在极大无关组, 并且任意两个极大无关组都等价,从而包含的向量个数相等,
定义 如果a1, a2,¼ ,as 不全为零向量,则把它的极大无关组中所包含向量的个数(是一个正整数)称为a1, a2,¼ ,as 的秩,记作r(a1, a2,¼ ,as ).如果a1, a2,¼ ,as 全是零向量,则规定r(a1, a2,¼ ,as )=0.
秩有以下性质:
① a1, a2,¼ ,as 线性无关Û r(a1, a2,¼ ,as )=s.
② b可用a1, a2,¼ ,as 线性表示Ûr(a1, a2,¼ ,as，b)=r(a1, a2,¼ ,as ).(见例3.2)
③ 如果r(a1, a2,¼ ,as )=k,则
i) a1, a2,¼ ,as 的每个含有多于k个向量的部分组相关.
ii) a1, a2,¼ ,as 的每个含有k个向量的无关部分组一定是极大无关组..
④ 如果b1, b2,¼ , bt可以用a1, a2,¼ ,as线性表示,则
r(b1, b2,¼ , bt)£r(a1, a2,¼ ,as ).
如果a1, a2,¼ ,as和b1, b2,¼ , bt等价,则
r(a1, a2,¼ ,as )=r(b1, b2,¼ , bt).
极大无关组和秩的概念可以推广到向量集合上(即包含的向量的个数不必有限),所有性质仍然成立.
4. 有相同线性关系的向量组
两个向量数相同的向量组a1, a2,¼ ,as和b1, b2,¼ , bs称为有相同线性关系,如果向量方程
x1a1+ x2a2+¼ +xsas=0和x1b1+ x2b2+¼ +xsbs=0
同解.
(例如,当A经过初等行变换化为B时, A的列向量组和B的列向量组有相同线性关系.)
当a1, a2,¼ ,as和b1, b2,¼ , bs有相同线性关系时,
(1)它们的秩相等.
(2)它们的极大无关组相对应.
(3)它们有相同的内在线性表示关系.
5.矩阵的秩
定义 一个矩阵A的行向量组的秩和列向量组的秩相等,称为此矩阵的秩,记作r(A).
于是
r(A)=0Û A=0.
如果A是m´n矩阵,则r(A)£Min{m,n},当等号成立时,称A为满秩的.
如果A是n阶矩阵,则A满秩,即r(A)=nÛ A的行(列)向量组无关
Û|A|¹0ÛA可逆ÛAX=b有唯一解Û齐次方程组AX=0只有零解.
命题 ① 初等变换保持矩阵的秩.
② 阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.
矩阵A的r阶子式:任取 A的r行和r列,在它们的交叉位置上的元素所构成的行列式.
命题 r(A)就是A的不等于0的子式的阶数的最大值.(即A的每个阶数大于r(A)的子式都为0,都是A有阶数等于r(A)非0子式.)
在作矩阵的运算中,矩阵的秩有性质:
① r(A T)=r(A).
② 如果c不为0,则r(cA)=r(A).
③ r(A±B)£r(A)+ r(B).
④ £Min{r(A),r(B)}. ⑤当A(或B)可逆时,r(AB)=r(B)(或r(A)).
⑥ 如果AB=0,n为A的列数(B的行数),则r(A)+r(B)£n.
⑦ 如果r(A)等于列数,则r(AB)=r(B).
下面给出⑤和⑦在判别向量组的线性相关性和秩的计算问题上的应用.
设向量组a1, a2,¼ ,as线性无关,向量组b1, b2,¼ ,bt可用a1, a2,¼ ,am线性表示,表示矩阵为C,则
i) r(b1, b2,¼ ,bt)=r(C).
ii) 如果t=s (此时C是t阶矩阵),则b1, b2,¼ ,bs线性无关Û C可逆.
(令A=(a1, a2,¼ ,as), B=(b1, b2,¼ ,bt),则B=AC, 并且r(A)=列数s,用⑦得到r(b1, b2,¼ ,bs)=r(C). t=s时,C可逆Ûr(b1, b2,¼ ,bs)=r(C)=s Ûb1, b2,¼ ,bs线性无关.或直接用⑤证明ii): C可逆时r(B)=r(A)=s,从而b1, b2,¼ ,bs线性无关.如果C不可逆,则r(b1, b2,¼ ,bs)£r(C)< s, 从而b1, b2,¼ ,bs线性相关.)
练习题三
1． a1,a2 ,…,ar线性无关Û ( )．
(A) 存在全为零的实数k1,k2,…,kr，使得k1a1+ k2a2+…+ krar=0；
(B) 存在不全为零的实数k1,k2,…,kr，使得k1a1+ k2a2+…+ krar≠0；
(C) 每个ai都不能用其它向量线性表示；
有线性无关的部分组．
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